『マクロ経済学の基礎理論』２章レジュメ(kurubushi rm)

ケインズ経済学

財市場の均衡条件はＩＳ曲線で、貨幣市場の均衡条件はＬＭ曲線で、表される。 財市場と貨幣市場が同時に均衡する産出量と利子率は、ＩＳ曲線とＬＭ曲線の交点で示される。

以下では、まず財市場の均衡について考え、ついで貨幣市場の均衡について考え、最後に両者が同時に均衡する条件を考える。

財市場の均衡

消費関数

１国の産出量＝所得をYとすると、その国の消費による需要Cは、所得Yの関数である消費関数C(Y)で示される。

$C=C(Y)$

消費関数C(Y)の微分${\frac {dC}{dY}}$は、所得Yが増えた際の消費の変化率を示し、これを限界消費性向と呼ぶ。

限界消費性向は、プラスであり、１より小さい。なんとなれば、

• 所得が増加すると、消費は増加する（限界消費性向はプラス）が、
• 所得がするほどには、消費は増加しない。つまり、所得の増加率＞消費の増加率である。

上の二つをそれぞれ${\frac {dC}{dY}}$を用いて書くと

$0<{\frac {dC}{dY}}$

${\frac {d}{dY}}Y=1>{\frac {d}{dY}}C$

この二つをまとめると、次の不等式となる。

$0<{\frac {dC}{dY}}<1$　…（１）

貯蓄関数

１国の産出量＝所得をYとすると、その国の貯蓄Sは、所得Yから消費Cを差し引いた残りである。

すなわち貯蓄関数S(Y)は、

$S(Y)\equiv Y-C(Y)$

と表される。

貯蓄関数S(Y)の微分${\frac {dS}{dY}}$は、所得が増えた際の貯蓄の変化率を示す。これを限界貯蓄性向と呼ぶ。

限界貯蓄性向は、貯蓄関数の両辺をＹで微分すると

${\frac {dS}{dY}}=1-{\frac {dC}{dY}}$

となり、これと（１）から、次の不等式がなりたつ。

$0<{\frac {dS}{dY}}<1$　…（２）

すなわち限界貯蓄性向はプラスで１より小さい。

投資関数

投資Iは、利子率の減少関数である。つまり、

$I=I(i)$

とすると、投資関数の微分${\frac {dI}{di}}$は、

${\frac {dI}{di}}<0$　……（３）

（利子率ｉが増えると投資Ｉは減る）

財市場の均衡条件

以上で、財市場に登場するすべての部門の関数が示された。 財市場の均衡条件は、生産量＝所得と、消費と投資の和（両者を足したもの）が一致することである。すなわち、

$Y=C(Y)+I(i)$　……（４）

式（４）と貯蓄関数の定義から、

$Y\equiv S(Y)+C(Y)=C(Y)+I(i)$、

両辺からC(Y)を引くと

$S(Y)=I(i)$　……（４’）

すなわち、財市場の均衡条件は、貯蓄と投資の均衡条件と同値である。

ＩＳ曲線

ＩＳ曲線とは、財市場の均衡をＹとｉの関係について描いたものである。

財市場の均衡は、貯蓄と投資の均衡条件と同値であったから、

式（４）$S(Y)=I(i)$をYとiについて全微分すると、

${\frac {\partial S(Y)}{\partial Y}}dY+{\frac {\partial S(Y)}{\partial i}}di={\frac {\partial I(i)}{\partial Y}}dY+{\frac {\partial I(i)}{\partial i}}di$

${\frac {\partial S(Y)}{\partial Y}}dY+0\bullet di=0\bullet dY+{\frac {\partial I(i)}{\partial i}}di$

${\frac {\partial S(Y)}{\partial Y}}dY={\frac {\partial I(i)}{\partial i}}di$　……（５）

式（５）の両辺を$dY$および${\frac {\partial I(i)}{\partial i}}$で割ると次の式が導かれる。

${\frac {di}{dY}}={\frac {\partial S(Y)}{\partial Y}}/{\frac {\partial I(i)}{\partial i}}$　……（６）

式（２）$0<{\frac {dS}{dY}}<1$ （限界貯蓄性向はプラスで１より小さい）から、${\frac {\partial S(Y)}{\partial Y}}<0$

式（３）${\frac {dI}{di}}<0$（投資関数の微分はマイナス）から、 ${\frac {\partial I(i)}{\partial i}}<0$

したがって、式（６）の右辺は　（プラス／マイナス）＝（マイナス）だから、

${\frac {di}{dY}}<0$

（Yを横軸、iを縦軸とするグラフで描くと）ＩＳ曲線は負の傾きをもつ、右下がりの曲線となる。

貨幣市場の均衡

実質貨幣供給量

貨幣供給量Ｍ、物価水準ｐとすると、実質貨幣供給量は、 ${\frac {M}{p}}$ と表すことができる。

貨幣需要関数

貨幣需要Ｌは、次のような所得Yと利子率iの関数である。

$L=L(Y,i)$

貨幣需要関数の所得Yについての偏微分は、

${\frac {\partial L}{\partial Y}}>0$

この式は、所得が増えると貨幣需要は増えることを意味している。

貨幣需要関数の利子率iについての偏微分は、

${\frac {\partial L}{\partial i}}<0$

この式は、利子率が増えると貨幣需要は減ることを意味している。

　なぜそうなるかといえば、利子率が高いと流動性（現金）を手ばなしても債券への投資しようとする＝投資が増えるからである。

　ここでは利子は流動性（現金の持つ、いつでも他の商品と高かんできる性質）を手ばなした（儀性にした）対価であると考えられている。逆になにかとくにならなければ、人は流動性を手ばなしたりしない。こうした考えを流動性選好説という。

貨幣市場の均衡条件は、貨幣需要と貨幣供給が一致することであり $L(Y,i)={\frac {M}{p}}$　…（９）

ＬＭ曲線

ＬＭ曲線は、貨幣市場（ほんとは債券市場）の均衡をＹとｉの関係で描いたものである。

式（９）をＹとｉについて全微分すると

${\frac {\partial L}{\partial Y}}dY+{\frac {\partial L}{\partial i}}di=0$

この式について、${\frac {\partial L}{\partial i}}di$を右辺に移項し、両辺を$dY$と${\frac {\partial L}{\partial Y}}$で割ると、次の式を得る。

${\frac {di}{dY}}=-{\frac {\partial L}{\partial i}}/{\frac {\partial L}{\partial Y}}$　……（１０）

${\frac {\partial L}{\partial Y}}>0$（所得が増えると貨幣需要は増える）と、 ${\frac {\partial L}{\partial i}}<0$（利子率が増えると貨幣需要は減る）とにより、

式（１０）の右辺は$-{\frac {\partial L}{\partial i}}/{\frac {\partial L}{\partial Y}}$ ＝　−（マイナス）／（プラス）＞０

したがって

${\frac {di}{dY}}>0$

よって（Yを横軸、iを縦軸とするグラフで描くと）ＬＭ曲線は正の傾きをもつ、右上がりの曲線となる。

例題２．１

財市場の均衡条件Ｙ＝Ｃ＋Ｉ

消費関数Ｃ＝６０＋０．８Ｙ

投資関数Ｉ＝４６−２００ｉ

貨幣市場の均衡条件Ｌ＝Ｍ／ｐ

貨幣需要関数Ｌ＝１．１５Ｙ−５００ｉ

ただしＭ＝５６０、ｐ＝１

（解答）

ＩＳ曲線は、財市場の均衡条件Ｙ＝Ｃ＋Ｉに、消費関数Ｃ＝６０＋０．８Ｙ、投資関数Ｉ＝４６−２００ｉ

をそれぞれ代入して式を整理することで求められる

Ｙ＝（６０＋０．８Ｙ）＋（４６−２００ｉ）

よって、Ｙ＝１０６＋０．８Ｙ−２００ｉ

０．２Ｙ＝１０６−２００ｉ・・・（１）

ＬＭ曲線は貨幣市場の均衡条件Ｌ＝Ｍ／ｐに、

貨幣需要関数Ｌ＝１．１５Ｙ−５００ｉとＭ＝５６０、ｐ＝１

をそれぞれ代入して、式を整理することで求められる。

Ｌ＝Ｍ／ｐ

１．１５Ｙ−５００ｉ＝５６０／１

よって１．１５Ｙ−５００ｉ＝５６０・・・（２）

（１）（２）を連立方程式として解く。

（１）の両辺を５倍して、

Ｙ＝５３０−１０００ｉ・・・（１）’

これを（２）に代入して

１．１５＊（５３０−１０００ｉ）−５００ｉ＝５６０

609.5−１１５０ｉ−５００ｉ＝５６０

１６５０ｉ＝49.5

ｉ＝0.03

これを（１）’に代入して、Ｙ＝５３０−１０００＊０．０３＝５３０−３０＝５００

また（１）（２）をそれぞれＹとｉとで全微分すると

０．２Ｙ＝１０６−２００ｉ・・・（１）の全微分

０．２ｄＹ＝−２００ｄｉから

ｄｉ／ｄＹ＝０．２／−２００＝−０．００１・・・ＩＳ曲線の傾き

１．１５Ｙ−５００ｉ＝５６０・・・（２）の全微分

１．１５ｄＹ−５００ｄｉ＝０

ｄｉ／ｄＹ＝１．１５／５００＝０．００２３・・・ＬＭ曲線の傾き

総需要管理政策

……ＩＳ−ＬＭモデルに政府部門、財政政策と金融政策の効果（乗数）、

政府が存在する場合のＩＳ曲線

　総生産＝総収入$Y=C(Y)+I(i)+G$と、

　貯蓄関数Ｓ（Ｙ）の定義$S(Y)\equiv Y-C(Y)$とから、

　$Y\equiv S(Y)+C(Y)=C(Y)+I(i)+G$

両辺からＣ（Ｙ）を引くと

　∴$S(Y)=I(i)+G$　…政府部門入りの財市場の均衡条件

これを全微分（≡すべての変数で偏微分したものと、すべての変数の微分単位の内積を求める）すると

${\frac {\partial S(Y)}{\partial Y}}dY+0\bullet di+0\bullet dG=0\bullet dY+{\frac {\partial I(i)}{\partial i}}di+0\bullet dG+0\bullet dY+0\bullet di+{\frac {\partial G}{\partial G}}dG$ ${\frac {\partial S(Y)}{\partial Y}}dY={\frac {\partial I(i)}{\partial i}}di+dG$

整理してもう一度書くとこんな感じ。

${\frac {\partial S(Y)}{\partial Y}}dY={\frac {\partial I(i)}{\partial i}}di+dG$

偏微分を分数で書くのがつらくなってきたので、下添字をつかって簡略化して書くことにしたい。

今の場合だと、ＳのＹについての偏微分、Ｉのについてiの偏微分をそれぞれ、$S_Y$、$I_i$と書くことにして、

$S_{Y}dY=I_{i}di+dG$

政府が存在する場合のＬＭ曲線

これは政府の存在を考慮しなかったときと変わらない。ただ、偏微分については簡略化した書き方を用いることにしたいので、もう一度書いてみる。

貨幣供給量Ｍ、物価水準ｐとし、貨幣需要Ｌを所得Yと利子率iの関数とすると、貨幣市場の均衡条件は次のような式で書ける。

　Ｌ（Ｙ，ｉ）＝Ｍ／ｐ

これをＹとｉについて全微分する。

同様にLのＹについての偏微分、Lのについてiの偏微分をそれぞれ、$L_{Y}$、$L_i$と書くことにして

貨幣市場の均衡条件

Ｌ（Ｙ，ｉ）＝Ｍ／ｐを全微分すると、

$L_{Y}dY+L_{i}di={\frac {dM}{p}}$

政策乗数

これらを整理し、行列表示すると

${\begin{pmatrix}S_{Y}&-I_{i}\\L_{Y}&L_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dY\\di\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}dG\\d{\frac {M}{p}}\end{pmatrix}}$

逆行列をつかって、所得の変化率dYと利子率の変化率diを導出する形に式を変形すると、

${\begin{pmatrix}dY\\di\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{Y}&-I_{i}\\L_{Y}&L_{i}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}dG\\d{\frac {M}{p}}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}dY\\di\end{pmatrix}}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{pmatrix}L_{i}&I_{i}\\-L_{Y}&S_{Y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dG\\d{\frac {M}{p}}\end{pmatrix}}$

ただし$\Delta =S_{Y}L_{i}+I_{i}L_{Y}$とする。

$S_{Y}>0$

$I_{i}<0$

$L_{Y}>0$

$L_{i}<0$

から、$\Delta < 0$である。

ここで$dM=0$　……貨幣供給量を一定とすると、

$dY={\frac {1}{\Delta }}L_{i}dG$

両辺をdGで割ると、$L_{i}<0$、$\Delta < 0$から

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \frac{\partial Y}{\partial G} = \frac{L_i}{\Delta} = (-)/(-) >0　} ……財政政策乗数はプラス

つまり、財政支出Gが増加すると総生産は増加する。

また$dG=0$……政府支出は一定とすると、

$dY={\frac {1}{\Delta }}I_{i}d{\frac {M}{p}}$

両辺を$d{\frac {M}{p}}$で割ると、$I_{i}<0$、$\Delta < 0$、$p > 0$から

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \frac{\partial Y}{\partial M} = \frac{I_i}{p\Delta} = (-)/(-) >0　} ……金融政策乗数はプラス

つまり、貨幣供給量Mが増加すると総生産は増加する。

例題２．２

マクロ経済が次の方程式系で示されるとする。

財市場の均衡条件Ｙ＝Ｃ＋Ｉ＋Ｇ　；Ｙ：産出量（所得）、Ｃ：消費、Ｉ：投資、Ｇ：政府購入

消費関数Ｃ＝６０＋０．８Ｙ

投資関数Ｉ＝４６−２００ｉ　　；ｉ：利子率、ｐ：物価水準

貨幣市場の均衡条件Ｌ＝Ｍ／ｐ　　；Ｌ：実質貨幣需要量、Ｍ：貨幣供給量

貨幣需要関数Ｌ＝１．１５Ｙ−５００ｉ

政府購入Ｇと貨幣供給量Ｍの変化が、産出量Ｙに与える影響を表す政策乗数をそれぞれ求めよ。ただし物価水準は単純化のためｐ＝１とする。

（解答）

ＩＳ曲線は、財市場の均衡条件Ｙ＝Ｃ＋Ｉ＋Ｇに、消費関数Ｃ＝６０＋０．８Ｙ、投資関数Ｉ＝４６−２００ｉ

をそれぞれ代入して式を整理することで求められる。

すなわち、

Ｙ＝（６０＋０．８Ｙ）＋（４６−２００ｉ）＋Ｇ

　＝１０６＋０．８Ｙ−２００ｉ＋Ｇ

∴０．２Ｙ−１０６＋２００ｉ＝Ｇ　・・・（１）

を得る。

他方、ＬＭ曲線は貨幣市場の均衡条件Ｌ＝Ｍ／ｐに、

貨幣需要関数Ｌ＝１．１５Ｙ−５００ｉとＭ＝５６０、ｐ＝１

をそれぞれ代入して、式を整理することで求められる。

Ｌ＝Ｍ／ｐ

１．１５Ｙ−５００ｉ＝５６０／１

よって１．１５Ｙ−５００ｉ＝５６０・・・（２）

（１）（２）について全微分すると、

$0.2dY+200di=dG$、$1.15dY-500di=dM$

となる。これらを行列形式で表現すると

${\begin{pmatrix}0.2&200\\1.15&-500\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dY\\di\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}dG\\dM\end{pmatrix}}$

逆行列をつかって、所得の変化率dYと利子率の変化率diを導出する形に式を変形すると、

${\begin{pmatrix}dY\\di\end{pmatrix}}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{pmatrix}-500&-200\\-1.15&0.2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dG\\dM\end{pmatrix}}$

ただし$\Delta =0.2\times (-200)-200\times 1.15=-330$である。

したがって

$dM=0$とすると、財政政策乗数

${\frac {\partial Y}{\partial G}}={\frac {-500}{-330}}={\frac {50}{33}}$

$dG=0$とすると、金融政策乗数

${\frac {\partial Y}{\partial M}}={\frac {-200}{-330}}={\frac {20}{33}}$

を得る。

古典派とケインズ

……ぶっちゃけ労働市場と貨幣市場が違う

ケインズ体系

　Ｉ（ｉ）＝Ｓ（Ｙ）　　・・・ＩＳ曲線…（貯蓄Ｓは総生産（と消費性向）に依存）

　Ｌ（Ｙ，ｉ）＝Ｍ／ｐ・・・ＬＭ曲線（貨幣供給は総生産Ｙと利子率ｉに依存）

　Ｎ＝Ｆ＾−１（Ｙ）・・・雇用関数

　Ｆ’（Ｎ）＝ｗ／ｐ・・・古典派の第一公準（これはケインズも認める）　

　ｗ＝ｗ０

古典派

　Ｉ（ｉ）＝Ｓ（ｉ）

・・・貸付資金説（貯蓄Ｓが消費から独立し、利子率のみに依存　貸付資金供給は利子率の増加関数、貸付資金需要は利子率の減少関数）

　ＭＶ＝ｐＹ・・・貨幣数量説（貨幣供給は利子率から独立）

　Ｙ＝Ｆ（Ｎ）・・・生産関数

　Ｙ’（Ｎ）＝ｗ／ｐ　・・・古典派の第一公準（実質賃金は限界生産性と一致するところで決まる）

　Ｎ＝Ｎｆ　・・・古典派の第二公準（一般均衡では完全雇用が実現する）

マクロ生産関数

新古典派のマクロ生産関数は雇用量Nの関数であり、次のようなものだとされる。

$Y=F(N)$　ただし$F'<0$

しかしケインズはこのＦの逆関数$F^{-1}$を雇用関数として考え、

雇用量Nが産出量を決めるのでなく、一国の所得＝総需要Yが雇用量Nを決めるのだと考える、すなわち

$N=F^{-1}(Y)$

「総需要Ｙが雇用量Ｎを決める」と考えることは、完全雇用の保証は無いと考えることである。

　つまり財市場の均衡から（労働市場とは無関係に）所得＝総需要Yが決まり、それに応じて雇用量（労働市場でみれば労働需要）が決まる、という順序関係がある。

　財市場と貨幣市場の均衡は、こうした順所関係はなく「同時」に決まると（ＩＳ−ＬＭ体系では）想定されている。

---

BookCardにもどる